Méthodes numériques et simulations

I. Nature des équations à résoudre
I.1 Équations de conservation (fluide), équations de propagation, description Lagrangienne
I.2 Classification des équations aux dérivées partielles d’ordre ≤ 2 (équations paraboliques, elliptiques, hyperboliques)
I.3 Grandes classes de méthodes numériques
– Méthodes de différences et volumes finis – Méthodes spectrales
– Méthode des éléments finis

II. Notions de stabilité, de convergence et de consistance
II.1 Définitions, théorème de Lax
II.2 Description d’une instabilité numérique

III. Techniques d’analyse de stabilité linéaire
III.1 Méthode de von Neumann
III.2 Méthode matricielle

IV. Analyse des schémas de discrétisation des termes instationnaire et de diffusion
IV.1 Schémas à deux pas de temps (Euler explicite, Beta-implicite)
IV.2 Schémas à trois pas de temps (Leapfrog, Adams-Bashforth)

V. Discrétisation des termes d’advection
V.1 Formes conservative et non conservative
V.2 Stabilité des schémas centrés (critère CFL)
V.3 Schémas upwind et diffusion numérique

VI. Équations parabolique en plusieurs dimension d’espace
VI.1 Stabilité des schémas explicites
VI.2 Schémas implicites, méthode des directions alternées

VII. Équations elliptiques
VII.1 Résolution de l’équation de Poisson par la méthode de Gauss-Seidel
VII.2 Techniques de relaxation
VII.3 Méthode des directions alternées

VIII. Équations hyperboliques
VIII.1 Réduction à un système d’équations du premier ordre
VIII.2 Méthode des caractéristiques
VIII.3 Méthodes explicites
VIII.4 Méthodes implicites

IX. Traitement des termes non linéaires
IX.1 Méthode de Newton-Raphson
IX.2 Méthode de linéarisation de Briley-Mc Donald

X. Exemples d’algorithmes pour la simulation des écoulements incompressibles
X.1 Méthodes basées sur des solveurs de pression (SIMPLE, PISO, …)
X.2 Méthodes de type fonction de courant-vorticité

XI. Méthodes spécifiques aux équations de transport de type rayonnement
XI.1 Méthodes de Monte Carlo
– Génération de nombres aléatoires selon une densité de probabilité
– Convergence de la méthode et techniques d’accélération
XI.2 Méthode des ordonnées discrètes
XI.3 Méthodes des harmoniques sphériques